数值线性代数

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数值线性代数-张振宇

数值线性代数

丛书名：无
著（译）者：张振宇
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责任编辑：刘光本
字       数：310千字
开       本：16 开
印       张：15
出版版次：1
出版年份：2026-07-22
书       号：978-7-5642-4991-5/F.4991
纸书定价：89.00元   教师会员可用500积分申请样书

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本书以线性代数基础理论与矩阵分解技术为基石，以求解矩阵特征值问题和线性方程组为核心主线，按照矩阵“中等规模稠密”与“大规模稀疏”的分类逻辑依次展开。具体章节安排如下：第一章简单介绍线性代数基础，涵盖向量空间与子空间、不变子空间、向量与矩阵范数、投影算子与投影矩阵，以及浮点数系统与舍入误差分析。第二章系统讲解矩阵分解理论，包括LU分解、正交化过程与QR分解、Jordan标准型、Schur分解、谱分解以及奇异值分解（SVD）。第三章介绍中小规模稠密线性方程组的直接解法，包括基于LU分解、Cholesky

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本书以线性代数基础理论与矩阵分解技术为基石，以求解矩阵特征值问题和线性方程组为核心主线，按照矩阵“中等规模稠密”与“大规模稀疏”的分类逻辑依次展开。

具体章节安排如下：第一章简单介绍线性代数基础，涵盖向量空间与子空间、不变子空间、向量与矩阵范数、投影算子与投影矩阵，以及浮点数系统与舍入误差分析。

第二章系统讲解矩阵分解理论，包括LU分解、正交化过程与QR分解、Jordan标准型、Schur分解、谱分解以及奇异值分解（SVD）。

第三章介绍中小规模稠密线性方程组的直接解法，包括基于LU分解、Cholesky分解及 LDLT分解的求解策略，并进行解的敏感性分析。

第四章讨论最小二乘问题，分别采用QR分解与SVD方法，求解满秩、秩亏以及总体最小二乘问题。

第五章针对一般非对称矩阵的特征值问题，介绍单个及多重特征值的求解方法，着重剖析QR算法的原理及其数值实现。

第六章讨论对称矩阵特征值问题，涵盖Rayleigh商迭代、对称QR算法、分而治之法（Divide-and-Conquer）以及Jacobi方法。

注意到第五、六两章所述算法主要针对中等规模稠密矩阵设计。

第七章聚焦大规模稀疏矩阵计算问题，重点介绍基于Krylov子空间的投影算法，包括Arnoldi分解、Lanczos分解、Rayleigh-Ritz投影原理及其衍生出的主流算法。

第1章线性代数基础知识 ……………………………………………………………… 001。
1.1 向量空间与子空间 ……………………………………………………………… 001。
1.1.1 向量空间与子空间的基本概念 ……………………………………… 001。
1.1.2 内积与内积空间 ……………………………………………………… 002。
1.1.3 正交基和正交子空间 ………………………………………………… 003。
1.1.4 零空间和值域 ………………………………………………………… 004。
1.2 算子与不变子空间 ……………………………………………………………… 005。
1.2.1 不变子空间 …………………………………………………………… 005。
1.2.2 算子的特征值和特征向量 …………………………………………… 006。
1.2.3 方阵的特征值和特征向量 …………………………………………… 007。
1.3 向量范数与矩阵范数 …………………………………………………………… 009。
1.3.1 向量范数 ……………………………………………………………… 009。
1.3.2 矩阵范数 ……………………………………………………………… 013。
1.4 投影算子和投影矩阵 …………………………………………………………… 021。
1.4.1 投影算子 ……………………………………………………………… 021。
1.4.2 投影的矩阵表示 ……………………………………………………… 023。
1.4.3 正交投影 ……………………………………………………………… 023。
1.5 浮点数与舍入误差 ……………………………………………………………… 026。
1.5.1 计算机中的浮点数表示 ……………………………………………… 026。
1.5.2 浮点运算产生的舍入误差 …………………………………………… 028。
习题 …………………………………………………………………………………… 032。
第2章矩阵分解与矩阵标准型 ………………………………………………………… 034。
2.1 LU分解 ………………………………………………………………………… 034。
2.1.1 Gauss变换与LU分解………………………………………………… 034。
2.1.2 LU分解的存在唯一性 ………………………………………………… 039。
2.1.3 LU分解算法 …………………………………………………………… 040。
2.1.4 带选主元的LU分解 ………………………………………………… 042。
2.2 正定对称矩阵的三角分解 ……………………………………………………… 047。
2.2.1 正定矩阵的LU分解 ………………………………………………… 047。
2.2.2 对称正定矩阵的三角分解 …………………………………………… 048。
2.3 正交化过程和QR分解 ………………………………………………………… 050。
2.3.1 Gram-Schmidt正交化过程 …………………………………………… 051。
2.3.2 修正的Gram-Schmidt正交化方法…………………………………… 053。
2.3.3 双重正交化方法 ……………………………………………………… 054。
2.3.4 Householder反射变换………………………………………………… 055。
2.3.5 Givens旋转变换 ……………………………………………………… 062。
2.4 方阵的Jordan标准型和方阵的幂……………………………………………… 066。
2.4.1 方阵的Jordan标准型 ………………………………………………… 066。
2.4.2 方阵的幂 ……………………………………………………………… 067。
2.5 Schur分解与谱分解 …………………………………………………………… 071。
2.5.1 Schur分解 ……………………………………………………………… 072。
2.5.2 正规矩阵的谱分解和实对称矩阵的谱性质 ………………………… 075。
2.6 奇异值分解 ……………………………………………………………………… 079。
习题 …………………………………………………………………………………… 087。
第3章中小规模稠密线性方程组的求解 ……………………………………………… 090。
3.1 一般线性方程组的求解 ………………………………………………………… 090。
3.1.1 Gauss消去法…………………………………………………………… 090。
3.1.2 选主元Gauss消去法 ………………………………………………… 093。
3.2 对称正定方程组的求解 ………………………………………………………… 095。
3.3 列主元Gauss消去法的向后误差分析 ………………………………………… 096。
3.4 线性方程组的敏感性分析 ……………………………………………………… 099。
习题 …………………………………………………………………………………… 104。
第4章最小二乘问题 …………………………………………………………………… 107。
4.1 满秩最小二乘问题 ……………………………………………………………… 107。
4.1.1 线性回归与最小二乘问题 …………………………………………… 108。
4.1.2 满秩最小二乘问题的正规方程解法 ………………………………… 109。
4.1.3 利用QR分解求解满秩最小二乘问题 ……………………………… 112。
4.1.4 利用SVD求解满秩最小二乘问题 …………………………………… 114。
4.2 秩亏最小二乘问题 ……………………………………………………………… 115。
4.2.1 利用SVD求解秩亏最小二乘问题 …………………………………… 115。
4.2.2 用列选主元的QR分解求解最小二乘问题 ………………………… 117。
4.3 总体最小二乘问题 ……………………………………………………………… 120。
习题 …………………………………………………………………………………… 125。
第5章非对称特征值问题 ……………………………………………………………… 127。
5.1 特征值和特征向量的敏感性分析 ……………………………………………… 127。
5.2 单个特征值的计算 ……………………………………………………………… 132。
5.2.1 乘幂法 ………………………………………………………………… 132。
5.2.2 反幂法 ………………………………………………………………… 135。
5.3 多个特征值的计算 ……………………………………………………………… 137。
5.3.1 正交迭代 ……………………………………………………………… 137。
5.3.2 基本QR迭代 ………………………………………………………… 138。
5.3.3 实Schur标准型与Hessenberg QR迭代 …………………………… 139。
5.3.4 带原点位移的单步QR迭代 ………………………………………… 144。
5.3.5 双重步位移QR迭代 ………………………………………………… 146。
5.3.6 实用隐式QR算法 …………………………………………………… 153。
习题 …………………………………………………………………………………… 154。
第6章对称特征值问题 ………………………………………………………………… 157。
6.1 Rayleigh商迭代 ………………………………………………………………… 157。
6.2 对称QR算法 …………………………………………………………………… 160。
6.2.1 实对称矩阵的三对角化 ……………………………………………… 160。
6.2.2 单步显式对称QR迭代 ……………………………………………… 162。
6.2.3 隐式对称QR算法 …………………………………………………… 163。
6.3 分而治之算法 …………………………………………………………………… 167。
6.3.1 对角矩阵和秩1矩阵的特征问题 …………………………………… 167。
6.3.2 分而治之算法 ………………………………………………………… 170。
6.4 Jacobi方法 ……………………………………………………………………… 174。
6.4.1 Jacobi算法思想………………………………………………………… 174。
6.4.2 经典Jacobi算法 ……………………………………………………… 177。
6.4.3 行循环算法 …………………………………………………………… 178。
习题 …………………………………………………………………………………… 180。
第7章求解大规模稀疏问题的迭代法 ………………………………………………… 184。
7.1 投影方法 ………………………………………………………………………… 185。
7.1.1 矩阵特征值问题的正交投影方法 …………………………………… 186。
7.1.2 求解线性方程组的投影方法 ………………………………………… 190。
7.2 Krylov子空间 …………………………………………………………………… 194。
7.2.1 Krylov子空间的性质 ………………………………………………… 194。
7.2.2 Arnoldi分解和Lanczos分解 ………………………………………… 198。
7.3 利用Arnoldi方法和Lanczos方法求解特征值问题 ………………………… 204。
7.3.1 Arnoldi方法 …………………………………………………………… 204。
7.3.2 Lanczos方法 …………………………………………………………… 205。
7.4 利用共轭梯度法和广义极小残量法求解线性方程组 ………………………… 206。
7.4.1 求解对称正定方程组的共轭梯度法 ………………………………… 206。
7.4.3 求解一般非对称方程组的广义极小残量法 ………………………… 220。
习题 …………………………………………………………………………………… 224。
参考文献 …………………………………………………………………………………… 228
本书基于历年授课讲义,紧密结合财经类院校学生的知识背景与专业需求,对内容体系进行了针对性的重构与优化。

鉴于当前求解大规模稀疏问题的主流算法多基于投影理论,本书在第7章以一般投影方法为切入点,深入阐述Krylov子空间及其性质作为投影子空间的应用,并重点介绍了目前最流行的求解特征值问题的Lanczos与Arnoldi算法,以及求解对称正定方程组的共轭梯度法(CG)和求解一般非对称方程组的广义极小残量法 (GMRES)。

通过这些典型算法的剖析,向读者完整呈现了现代迭代方法的本质思想与显著优势。

需要说明的是,虽然Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代及超松弛迭代法(SOR)等经典迭代法在工程实际中仍有应用,但其本质上属于收敛速度较慢的一维子空间投影,且已在绝大多数数值代数或矩阵计算教材中有了详尽介绍。

为避免内容冗余并突出本书特色,本教材未对上述经典迭代法做专门篇幅论述,而是将重心置于更适合现代大规模计算的子空间投影方法上。

本书以线性代数基础理论与矩阵分解技术为基石,以求解矩阵特征值问题和线性方程组为核心主线,按照矩阵“中等规模稠密”与“大规模稀疏”的分类逻辑依次展开。

具体章节安排如下: 第1章简单介绍线性代数基础知识,涵盖向量空间与子空间、不变子空间、向量与矩阵范数、投影算子与投影矩阵,以及浮点数系统与舍入误差分析。

第2章系统讲解矩阵分解理论,包括LU分解、正交化过程与QR分解、Jordan标准型、 Schur分解、谱分解以及奇异值分解(SVD)。

第3章介绍中小规模稠密线性方程组的直接解法,包括基于LU 分解、Cholesky分解及LDLT 分解的求解策略,并进行解的敏感性分析。

第4章讨论最小二乘问题,分别采用QR分解与SVD方法,求解满秩、秩亏以及总体最小二乘问题。

第5章针对一般非对称矩阵的特征值问题,介绍单个及多重特征值的求解方法,着重剖析QR算法的原理及其数值实现。

第6章讨论对称矩阵特征值问题,涵盖Rayleigh商迭代、对称QR算法、分而治之算法 (Divide-and-Conquer)以及Jacobi方法。

第5、6两章所述算法主要针对中等规模稠密矩阵设计。

第7章聚焦大规模稀疏矩阵计算问题,重点介绍基于Krylov子空间的投影算法,包括 Arnoldi分解、Lanczos分解、Rayleigh-Ritz投影原理及其衍生出的主流算法。

为提升本书的可读性与教学效果,编者对部分关键定理的证明过程进行了补充与细化,力求逻辑清晰、通俗易懂,帮助读者深入理解算法背后的数学机理。

此外,每章末尾均配备了适量的习题,以供读者巩固所学内容。